求解下列方程：
(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解；
(Ⅱ)求yy″=2(y
′2
－y′)满足初始条件y(0)=1，y′(0)=2的特解．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令P=y′，则原方程化为xp′=plnp． 当p≠1时，可改写为
，其通解为 ln｜lnp｜=ln｜x｜+lnC，即lnp=C
1
x，即y′=e
C1x
． 这样，原方程的通解即为y=
e
C1x
+C
2
，其中C
1
≠0，C
2
为任意常数． 当P=1时，也可以得到一族解y=x+C
3
． (Ⅱ)此方程不显含x．令p=y′，且以y为自变量，
，原方程可化为yp
=2(p
2
－p)． 当p≠0时，可改写为y
=2(p－1) 或
，解为p－1=C
1
y
2
． 再利用P=y′，以及初始条件，可推出常数C
1
=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′=1+y
2
其通解为y=tan(x+C
2
)． 再一次利用初始条件y(0)=1，即得C
2
=
．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+
，其通解为 ln｜lnp｜=ln｜x｜+lnC，即lnp=C
1
x，即y′=e
C1x
． 这样，原方程的通解即为y=
e
C1x
+C
2
，其中C
1
≠0，C
2
为任意常数． 当P=1时，也可以得到一族解y=x+C
3
． (Ⅱ)此方程不显含x．令p=y′，且以y为自变量，
，原方程可化为yp
=2(p
2
－p)． 当p≠0时，可改写为y
=2(p－1) 或
，解为p－1=C
1
y
2
． 再利用P=y′，以及初始条件，可推出常数C
1
=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y′=1+y
2
其通解为y=tan(x+C
2
)． 再一次利用初始条件y(0)=1，即得C
2
=
．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+
【答案解析】