设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．
【正确答案】正确答案：存在正常数M
0
，M
2
，使得对
x∈(-∞，+∞)，恒有 ｜f(x)｜≤M
0
，｜f""(x)｜≤M
2
． 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f"(x)+
f""(ξ)， 其中ξ介于x与x+1之间，整理得f"(x)=f(x+1)-f(x)-
f""(ξ)， 所以 ｜f"(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
x∈(-∞，+∞)，恒有 ｜f(x)｜≤M
0
，｜f""(x)｜≤M
2
． 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f"(x)+
f""(ξ)， 其中ξ介于x与x+1之间，整理得f"(x)=f(x+1)-f(x)-
f""(ξ)， 所以 ｜f"(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+
【答案解析】