问答题
求证f(x)=πx(1-x)cosπx-(1-2x)sinπx＞0当
【正确答案】
【答案解析】注意f(x)在
上连续，且
．先求
其中g(x)=2-π
2
x(1-x)．
显然，f(x)的正负号取决于g(x)的正负号，用单调性方法判断g(x)的符号．由于
，故g(x)在
单调下降，又因g(0)=2，
，从而存在唯一的
使g(x
0
)=0．又由
即知
从而f(x)＞f(0)=0(0＜x≤x 0 )，
．
故
上连续，且
．先求
其中g(x)=2-π
2
x(1-x)．
显然，f(x)的正负号取决于g(x)的正负号，用单调性方法判断g(x)的符号．由于
，故g(x)在
单调下降，又因g(0)=2，
，从而存在唯一的
使g(x
0
)=0．又由
即知
从而f(x)＞f(0)=0(0＜x≤x 0 )，
．
故