解答题
3.(2006年试题，19)设在上半平面D={(x，y)｜y>0}内，函数，(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x,y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
【正确答案】根据题意，不妨设L取正向，D内任意分段光滑有向简单闭曲线L所围区域记为D0，D0cD，由格林公式有
将方程f(tx，ty)=t2一f(x，y)两边对t求导，由复合函数求导法得xf1'(tx，ty)+yf2'(tx，ty)=一2t-3f(x，y)xfx'(x，y)+fy'(x，y)+2厂(x，y)=0((x，y)∈D)代入(1)式即得
将方程f(tx，ty)=t2一f(x，y)两边对t求导，由复合函数求导法得xf1'(tx，ty)+yf2'(tx，ty)=一2t-3f(x，y)xfx'(x，y)+fy'(x，y)+2厂(x，y)=0((x，y)∈D)代入(1)式即得【答案解析】本题的求证关键在于如何由已知条件f(tx，ty)=t-2(x，y)，得到一f(x，y)一xfx'(x，y)=f(x，y)+yfy'(z，y)．不难看出，等式中不包含t，故而知对t求导且令t=1．