问答题
已知
α1=[1，3，5，-1]T， α2=[2，7，a，4]T， α3=[5，17，-1，7]T．
(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个四维列向量．
α1=[1，3，5，-1]T， α2=[2，7，a，4]T， α3=[5，17，-1，7]T．
(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个四维列向量．
【正确答案】(1)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之；
(2)按齐次线性方程组求解的方法求之．
(3)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．
(Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于
所以a=-3．
(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有
＜α1,α4＞=0,＜α2,α4＞=0,＜α3,α4＞=0
即
而
所以
X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，-6，0，1]，
其中k≠0为任意常数．
(Ⅲ)由于
所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出．
或由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么如果
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，
用
左乘上式两端并利用
有
，故必有k4=0．于是
k1α1+k2α2+k3α3=0，
从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．
(2)按齐次线性方程组求解的方法求之．
(3)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．
(Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于
所以a=-3．
(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有
＜α1,α4＞=0,＜α2,α4＞=0,＜α3,α4＞=0
即
而
所以
X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，-6，0，1]，
其中k≠0为任意常数．
(Ⅲ)由于
所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出．
或由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么如果
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，
用
左乘上式两端并利用有
，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0，
从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．
【答案解析】