选择题
3.设
【正确答案】
A
【答案解析】【分析一】本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件．为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数
其中f1(x)和f2(x)分别在较大的区间(x0—δ，+∞)和(一∞，x0)+δ)(δ>0是一个常数)中具有任意阶导数，则f(x)在分界点x=x0具有k阶导数的充分必要条件是f1(x)和f2(x)有相同的泰勒公式：f1(x)=f2(x)=a0+a1(x一x0)+a2(x一x0)2+…+ak(x—x0)k+a((x一x0)k)．注意，在f(x)的定义中，分界点x0也可以属于f1(x)所在区间，结论是完全一样的．把上述一般结论用于本题，取x0=0，k=2，f1(x)=ax2+bx+c，f2(x)=cos2x+2sinx，因
所以a，b，c应分别是a=一2，b=2，c=1，这表明结论A正确．
【分析二】首先要求f(x)在x=0连续，即要求
即[cos2x+2sinx]｜x=0=[ax2+bx+c]｜x=0得c=1．这表明C，D不正确．当c=1时，f(x)可写成
其中f1(x)和f2(x)分别在较大的区间(x0—δ，+∞)和(一∞，x0)+δ)(δ>0是一个常数)中具有任意阶导数，则f(x)在分界点x=x0具有k阶导数的充分必要条件是f1(x)和f2(x)有相同的泰勒公式：f1(x)=f2(x)=a0+a1(x一x0)+a2(x一x0)2+…+ak(x—x0)k+a((x一x0)k)．注意，在f(x)的定义中，分界点x0也可以属于f1(x)所在区间，结论是完全一样的．把上述一般结论用于本题，取x0=0，k=2，f1(x)=ax2+bx+c，f2(x)=cos2x+2sinx，因所以a，b，c应分别是a=一2，b=2，c=1，这表明结论A正确．【分析二】首先要求f(x)在x=0连续，即要求
即[cos2x+2sinx]｜x=0=[ax2+bx+c]｜x=0得c=1．这表明C，D不正确．当c=1时，f(x)可写成