解答题
25.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(z，Y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
【正确答案】设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为
Y－y＝－
(X－χ)(y′≠0)，
令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为
，
由题意得
，即yy〞＝1＋y′2．
令y′＝p，则y＝p
，则有yp
＝1＋p2，或者
，
两边积分得y＝C1
，
由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，
所以y′＝±
，变量分离得
＝±dχ，
两边积分得ln(y＋
)＝±χ＋C1，由y(1)＝1得C2＝
1，
所以ln(y＋
)＝±(χ－1)，即y＋
，
又y＋
，所以y－
两式相加得y＝
Y－y＝－
(X－χ)(y′≠0)，令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为
，由题意得
，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，则y＝p
，则有yp＝1＋p2，或者，两边积分得y＝C1
，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，
所以y′＝±
，变量分离得＝±dχ，两边积分得ln(y＋
)＝±χ＋C1，由y(1)＝1得C2＝1，所以ln(y＋
)＝±(χ－1)，即y＋，又y＋
，所以y－两式相加得y＝
【答案解析】