解答题
10.设二维随机变量(U，V)一N(2，2；4，1；
【正确答案】(I)由于X＝U一bV，Y＝V且
＝1≠0，故(X，Y)服从一维正态分布，所以X与Y独立等价于X与Y不相关，即Cov(X，Y)＝0，从而有
Cov(U—bV，V)＝0，Cov(U，V)一bDV＝0，即
一b·1＝0，
解得b＝1，即当b＝1时，X与Y独立．
(Ⅱ)由正态分布的性质知X＝U—V服从正态分布，且
EX＝EU—EV＝2—2＝0．
DX＝D(U—V)＝DU＋DV一2Cov(U，V)＝4＋1—2·
＝3，
所以X～N(0，3)，同理Y＝V～N(2，1)．
又因为X与Y独立，故
＝1≠0，故(X，Y)服从一维正态分布，所以X与Y独立等价于X与Y不相关，即Cov(X，Y)＝0，从而有Cov(U—bV，V)＝0，Cov(U，V)一bDV＝0，即
一b·1＝0，解得b＝1，即当b＝1时，X与Y独立．
(Ⅱ)由正态分布的性质知X＝U—V服从正态分布，且
EX＝EU—EV＝2—2＝0．
DX＝D(U—V)＝DU＋DV一2Cov(U，V)＝4＋1—2·
＝3，所以X～N(0，3)，同理Y＝V～N(2，1)．
又因为X与Y独立，故
【答案解析】