设y＝y
(χ)
是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为
【正确答案】正确答案：因为曲线是上凸的，所以y〞＜0，由题设得
令y′＝p，y〞＝
，则有
＝－(1＋p
2
)
arctanp＝C
1
－χ． 因为曲线y＝y(χ)在点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，所以P｜
χ＝0
＝1，从而y′＝tan(
－χ)，积分得y＝ln｜cos(
－χ)｜＋C
2
． 因为曲线过点(0，1)，所以C
2
＝1＋
， 所求曲线为y＝lncos(
－χ)＋1＋
，χ∈(
)． 因为cos(
－χ)≤1，所以当χ＝
时函数取得极大值1＋
令y′＝p，y〞＝
，则有
＝－(1＋p
2
)
arctanp＝C
1
－χ． 因为曲线y＝y(χ)在点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，所以P｜
χ＝0
＝1，从而y′＝tan(
－χ)，积分得y＝ln｜cos(
－χ)｜＋C
2
． 因为曲线过点(0，1)，所以C
2
＝1＋
， 所求曲线为y＝lncos(
－χ)＋1＋
，χ∈(
)． 因为cos(
－χ)≤1，所以当χ＝
时函数取得极大值1＋
【答案解析】