解答题 设矩阵As×n的秩为r，线性方程组
    Ax=b    ①
    (其中x，b为列向量，b≠0)有特解ζ0，它的导出方程组Ax=0的一个基础解系为ζ1，ζ2，…，ζn-r，证明：
问答题   向量η0=ζ0，η1=ζ0+ζ1，…，ηn-r=ζ0+ζn-r是方程组①的线性无关解向量；
 
【正确答案】
【答案解析】[证] 因为Aζ0=b，Aζi=0．i=1，2，…，n-r，所以
   Aηi=A(ζ0+ζi)=Aζ0+ζi=b(i=1，2，…，n-r)，
   因此η0，η1，…，ηn-r是方程组①的解．令
   λ0η0+λ1η1+…+λn-rηn-r=0，
   则    (λ0+λ1+…+λn-r)η0+λ1ζ1+…+λn-rζn-r=0，    ②
   因  Aη0=b≠0，由②得
   A[(λ0+λ1+…+λn-r)η0+λ1ζ1+…+λn-rζn-r]=0，
   (λ0+λ1+…+λn-r)b=0，
   所以有    λ0+λ1+…+λn-r=0，
   于是    λ1ζ1+λ2ζ2+…+λn-rζn-r=0，
   但ζ1，ζ2，…，ζn-r线性无关，从而λ1=λ2=…=λn-r=0，进而有λ0=0，可见η0，η1，…，ηn-r线性无关．
问答题   η0，η1，η2，…，ηn-r的一切线性组合
    k0η0+k1η1+…+kn-rηn-r，  (其中k0+k1+…+kn-r=1)
    是方程组①的全部解．
 
【正确答案】
【答案解析】[证] 由上一小题知η0，η1，…，ηn-r是方程组①的解，故当k0+k1+…+kn-r=1时，易知k0η0+k1η1+…+kn-rηn-r是方程组②的解，因为
   A(k0η0+k1η1+…+kn-rηn-r)=(k0+k1+…+kn-r)b=b，
   另一方面，令η为方程组①的任一解，则η-ζ0为①的导出组的解，于是
   η-ζ0=k1ζ1+k2ζ2+…+kn-rζn-r，
   令  k0=1-k1-…-kn-r，即  k0+k1+…+kn-r=1，
   由于    η0=ζ0，η1=ζ0+ζ1，…，ηn-r=ζ0+ζn-r，
   则    η=(k0+k1+…+kn-r)ζ0+k1ζ1+…+kn-rζn-r
   =k0ζ0+k1(ζ0+ζ1)+…+kn-r(ζ0+ζn-r)
   =k0η0+k1η1+…+kn-rηn-r，
   这里k0+k1+…+kn-r=1．