问答题设A=(a_ij)_n×n是秩为n的n阶实对称矩阵，A_ij是|A|中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

问答题记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，试写出二次型f(x₁，x₂，…，x_n)的矩阵形式。

【正确答案】r(A)=n，故A是可逆的实对称矩阵，于是(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，即A^-1也是实对称矩阵，从而由[*]是实对称的，A^*也是实对称的，由此即知A_ij=A_ji(i，j=1，2…，n)，于是有
[*]
因此，二次型f的矩阵表示为X^TA^-1X，其二次型矩阵为A^-1。

【答案解析】

问答题判断二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由。

【正确答案】因为A，A^-1都是可逆的实对称矩阵，且t
(A^-1)^TAA^-1=(A^-1)^TE=(A^T)^-1=A^-1
所以A与A^-1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形。

【答案解析】[考点] 二次型的矩阵表示及规范形