问答题
有两个独立的同类设备，它们的寿命X和Y都服从参数为λ＞0的指数分布．今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统．试求各种系统的寿命分布．
【正确答案】
【答案解析】两个设备的寿命X，Y都服从参数为λ＞0的指数分布，即
设系统寿命为U，则
①串联系统U=min{X，Y}．
F(u)=P{min(X，Y)≤u}=1-P{min(X，Y)＞u}
=1-P{X＞u，Y＞u}=1-[P(X＞u)] 2
=1-[1-P(X≤u)] 2
=1-[1-F u (u)] 2 =1-e -2λu ， u＞0．
故f U (u)=F"(u)=2λe -2λu ，u＞0．
②并联系统U=max{X，Y}．
F(u)=P{max(X，Y)≤u)=P(X≤u，Y≤u)
=[P(X≤u)] 2 =[F u (u)] 2 =(1-e -λu ) 2 ， u＞0，
故f U (u)=F"(u)=2λe -λu (1-e -λu )，u＞0．
③备用系统U=X+Y．
设系统寿命为U，则
①串联系统U=min{X，Y}．
F(u)=P{min(X，Y)≤u}=1-P{min(X，Y)＞u}
=1-P{X＞u，Y＞u}=1-[P(X＞u)] 2
=1-[1-P(X≤u)] 2
=1-[1-F u (u)] 2 =1-e -2λu ， u＞0．
故f U (u)=F"(u)=2λe -2λu ，u＞0．
②并联系统U=max{X，Y}．
F(u)=P{max(X，Y)≤u)=P(X≤u，Y≤u)
=[P(X≤u)] 2 =[F u (u)] 2 =(1-e -λu ) 2 ， u＞0，
故f U (u)=F"(u)=2λe -λu (1-e -λu )，u＞0．
③备用系统U=X+Y．