问答题
设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T
-1
(A)是X的闭集．
【正确答案】
[证明]记X，Y上的拓扑分别为τ
X
，τ
Y
．
充分性 设B∈τ
Y
，则令A=B
c
，A是闭集，有T
-1
(A)是闭集．于是T
-1
(B)=T
-1
(A
c
)=[T
-1
(A)]
c
∈τ
X
，这表明T连续．
必要性 设T连续，A是闭集，则A
c
∈τ
Y
，从而[T
-1
(A)]
c
=T
-1
(A
c
)∈τ
X
．这表明T
-1
(A)是X的闭集．
【答案解析】
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