解答题
设n阶矩阵
问答题
8.求A的特征值和特征向量;
【正确答案】1°当b≠0时,A的特征多项式为

=[λ-1(n-1)b](λ-(1-b)
n-1,
故A的特征值为λ
1=1+(n-1)b,λ
2=…=λ
n=1-b.
对于λ
1=1+(n-1)b,设对应的一个特征向量为ξ
1,则

=[1+(n-1)b]ξ
1,
解得ξ
1=(1,1,…,)
T。所以,属于λ
1的全部特征向量为
kξ
1=k(1,1,…,1)
T,其中k为任意非零常数.
对于λ
2=…=λ
n=1-b,解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0,由

【答案解析】
问答题
9.求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.
【正确答案】1°当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令矩阵P=[ξ1 ξ2…ξn],则有
P-1AP=diag(1+(n-1)b,1-b,…,1-b).
2°当b=0时,A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P-1AP=E.
【答案解析】