【正确答案】正确答案：由f(x)＞0知∫ ₀ ¹ xf(x)dx＞0，∫ ₀ ¹ f(x)dx＞0． 从而为证明此不等式只须证∫ ₀ ¹ xf ² (x)dx∫ ₀ ¹ f(x)dx≤∫ ₀ ¹ f ² (x)dx∫ ₀ ¹ xf(x)dx． 故令 I=∫ ₀ ¹ f ² (x)dx∫ ₀ ¹ xf(x)dx一∫ ₀ ¹ xf ² (x)dx∫ ₀ ¹ f(x)dx =∫ ₀ ¹ xf(x)dx∫ ₀ ¹ f ² (y)dy一∫ ₀ ¹ f(x)dx∫ ₀ ¹ yf ² (y)dy 其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}． 由于D关于y=x对称，则 以上两式相加，得