【正确答案】方法一：要证alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)，即要证．
构造辅助函数．
则F(x)在[e^-2，e^-1]上连续，在(e^-2，e^-1)内可导，应用拉格朗日中值定理，得：．
设，e^-2＜t＜e^-1，则有，e^-2＜t＜e^-1
即g(x)在(e^-2，e^-1)内单调减小，从而g(t)＜g(0)=3e⁴．
故
即alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)
方法二：要证alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)，即证
设，则
当e^-2＜x＜e^-1时，^"(x)＜0，所以在区间(e^-2，e^-1)内^'(x)单调减少，则有^'(x)＜^'(e^-2)=3e⁴-3e⁴=0所以(x)在区间(e^-2，e^-1)内单调减少又e^-2＜a＜b＜e^-1，所以(b)＜(a)，即