问答题
(本题满分10分)
设f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，证明：存在实数ξ∈(-1，1)，使得
设f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，证明：存在实数ξ∈(-1，1)，使得
【正确答案】
【答案解析】解：将f(x)在x=0处按泰勒公式展开，有
，其中η在0与x之间。
令x分别为-1，1得：
其中η 1 ∈(-1，0)η 2 ∈(0，1)。
将上述两式相减得，
。
由f"(x)在[η 1 ，η 2 ]上连续，不妨设f"""(x)在[η 1 ，η 2 ]上的最大值、最小值分别为M，m，则
，根据介值定理得，存在ξ∈[η
1
，η
2
]
[-1，1]，使得
。于是
，
即存在ξ∈(-1，1)，使得
，其中η在0与x之间。
令x分别为-1，1得：
其中η 1 ∈(-1，0)η 2 ∈(0，1)。
将上述两式相减得，
。
由f"(x)在[η 1 ，η 2 ]上连续，不妨设f"""(x)在[η 1 ，η 2 ]上的最大值、最小值分别为M，m，则
，根据介值定理得，存在ξ∈[η
1
，η
2
]
[-1，1]，使得
。于是
，
即存在ξ∈(-1，1)，使得