问答题
求一个以y
1
=te
t
，y
2
=sin 2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解．
【正确答案】正确答案：由y
1
=te
t
可知y
3
=e
t
亦为其解，由y
2
=sin 2t可得y
4
=cos 2t也是其解，故所求方程对应的特征方程的根r
1
=r
3
=1，r
2
=2i，r
4
=一2i．其特征方程为 (r—1)
2
(r
2
+4)=0，即r
4
—2r
3
+5r
2
一8r+4=0， 故所求微分方程为y
(4)
一2y"'+-5y"一8y’+4y=0，其通解为 y=(C
1
+C
2
t)e
t
+C
3
cos 2t+C
4
sin 2t，其中C
1
，C
2
，C
3
，C
4
为任意常数．
【答案解析】