解答题
设f(x)在[a，b]上可导，f'+(a)·f'-(b)＜0，证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0．
【正确答案】
【答案解析】[证] 不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，于是
由极限保号性知，存在一个δ1＞0，当x∈(a，a+δ1)时，恒有
同理，
由极限保号性知，存在一个δ2＞0，当x∈(b-δ2，b)时，恒有
由f(x)在[a，b]上可导知，f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上必存在最大值，由①②知，最大值只能在(a，b)内取得．
令ξ∈(a，b)，
由极限保号性知，存在一个δ1＞0，当x∈(a，a+δ1)时，恒有
同理，
由极限保号性知，存在一个δ2＞0，当x∈(b-δ2，b)时，恒有
由f(x)在[a，b]上可导知，f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上必存在最大值，由①②知，最大值只能在(a，b)内取得．
令ξ∈(a，b)，