【正确答案】由曲线y=与直线y=a(其中0＜a＜1)以及x=0，x=1围成的平面图
D₁={(x，y)｜a≤y≤1，0≤x≤}，
D₂={(x，y)｜0≤y≤a，≤x≤1}．
在D₁绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状是圆形薄片，其半径厚度为dy，从而这个圆形薄片的体积dV=π(1一y²)dy，于是区域D₁绕y轴旋转一周所得旋转体的体积
V₁(a)=f一π(1一y²)dy=π∫_a¹(1一y²)dy=π[1一a一．
在D₂绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状为圆环形薄片，其内半径为，
外半径为1，厚度为dy，从而这个圆环形薄片的体积为dV=π[1一(1一y²)]dy=πy²dy，故区域D₂绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积
V₂(a)=∫₀^aπy²dy=a³．
把V₁(a)与V₂(a)相加，就得到了
V(a)=V₁(a)+V₂(a)=π(a³)．
由于 V'(a)=π(2a²—1)=