问答题
设函数f(x)可导，函数g(x)连续，且当f(x)≠0时g(x)可导，求证：
问答题
当f(x
0
)≠0时F(x)=|f(x)|g(x)在点x=x
0
处必可导．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 若f(x
0
)≠0，则存在δ＞0，使得当|x-x
0
|＜δ时f(x)≠0，于是在该区间内必有|f(x)|g(x)=f(x)g(x)或|f(x)|g(x)=-f(x)g(x)之一成立，故函数|f(x)|g(x)在点x=x
0
处必可导．
问答题
当f(x
0
)=0时F(x)=|f(x)|g(x)在点x=x
0
处可导的充分必要条件是g(x
0
)f"(x
0
)=0．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 若f(x
0
)=0，于是F(x
0
)=|f(x
0
)|g(x
0
)=0，从而函数F(x)=|f(x)|g(x)在点x=x
0
的左导数与右导数分别为
故当f(x 0 )=0时，
|F(x)|在点x=x 0 可导
g(x
0
)|f"(x
0
)|=-g(x
0
)|f"(x
0
)|
g(x
0
)|f"(x
0
)|=0
g(x
0
)f"(x
0
)=0．
[解析] 在上面的证明中用到
与
，其实更一般地必有
这是因为任何两个数a，b之差与这两个数的绝对值之差成立不等式
，由此即知若
必有
故当f(x 0 )=0时，
|F(x)|在点x=x 0 可导
g(x
0
)|f"(x
0
)|=-g(x
0
)|f"(x
0
)|
g(x
0
)|f"(x
0
)|=0
g(x
0
)f"(x
0
)=0．
[解析] 在上面的证明中用到
与
，其实更一般地必有
这是因为任何两个数a，b之差与这两个数的绝对值之差成立不等式
，由此即知若
必有