问答题
设二次型
问答题
求a，b的值；
【正确答案】由题设，二次型f相应的矩阵为
．
设A的3个特征值为λ1，λ2，λ3，则由已知条件知λ1+λ2+λ3=1，λ1λ2λ3=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得
a=1及
．设A的3个特征值为λ1，λ2，λ3，则由已知条件知λ1+λ2+λ3=1，λ1λ2λ3=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得
a=1及
【答案解析】
问答题
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．
【正确答案】由|A-λE|=0，即
，可求出A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-3．不难求得对应于λ1=λ2=2的特征向量为
；对应于λ3=-3的特征向量为
，对λ1，λ2，λ3正交规范化，得
令矩阵
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中
，
因此二次型的标准型为
，可求出A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-3．不难求得对应于λ1=λ2=2的特征向量为；对应于λ3=-3的特征向量为，对λ1，λ2，λ3正交规范化，得令矩阵
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中
，因此二次型的标准型为
【答案解析】[考点] 特征值、正交变换、二次型的标准形