解答题
19.设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f′(0)=1，f″(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．
【正确答案】因为f″(x)≥0，所以f′(x)单调不减，当x＞0时，f′(x)≥f′(0)=1．
当x＞0时，f(x)－f(0)=f′(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为
=+∞，所以
=+∞．
由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，
当x＞0时，f(x)－f(0)=f′(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为
=+∞，所以=+∞．由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，
【答案解析】