设a
1
，a
2
，…，a
n
是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。
【正确答案】正确答案：必要性： a
1
，a
2
，…，a
n
是线性无关的一组n维向量，因此(a
1
，a
2
，…，a
n
)=n。对任一n维向量b，因为a
1
，a
2
，…，a
n
，b的维数n小于向量的个数n+1，故a
1
，a
2
，…，a
n
，b线性相关。 综上所述r(a
1
，a
2
，…，a
n
，b)=n。 又因为a
1
，a
2
，…，a
n
线性无关，所以n维向量b可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示。 充分性： 已知任一n维向量b都可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示，则单位向量组：ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n
可由a
1
，a
2
，…，a
n
线性表示，即 r(ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n
)=n≤r(a
1
，a
2
，…，a
n
)， 又a
1
，a
2
，…，a
n
是一组凡维向量，有r(a
1
，a
2
，…，a
n
)≤n。 综上，r(a
1
，a
2
，…，a
n
)=n。所以a
1
，a
2
，…，a
n
线性无关。
【答案解析】