解答题
设n阶矩阵A，B和A+B均可逆，证明：
问答题
A
-1
+B
-1
也可逆，且(A
-1
+B
-1
)
-1
=A(A+B)
-1
B=B(A+B)
-1
A，
【正确答案】
证：因为(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B =(E+B-1A)(A+B)-1B=(E+B-1A)[B-1(A+B)]-1 =(E+B-1A)(B-1A+E)-1=E， 所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B． 同理可证(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A．
【答案解析】
问答题
(A+B)
-1
=A
-1
-A
-1
(A
-1
+B
-1
)
-1
A
-1
．
【正确答案】
证：由上小题的结果，有 (A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] =(A+B)[A-1-(A+B)-1BA-1]=(A+B)[E-(A+B)-1B]A-1 =(A+B)(A+B)-1[A+B-B]A-1=(A+B)(A+B)-1AA-1=E， 故(A+B)-1=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1．
【答案解析】
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