问答题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线，该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D(如图的阴影部分)．求D的面积A及D绕直线x=1旋转一周所得旋转体的体积V．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设切点坐标为P(x
0
，y
0
)，于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为
y 0 "=e x0 ，
切线方程为y-y 0 =e x0 (x-x 0 )．
它经过点(0，0)，所以-y 0 =-x 0 e x0 ．又因y 0 =e x0 ，代入求得x 0 =1，
从而y 0 =e x0 =e，切线方程为y=ex．
(Ⅰ)取水平条为A的面积元素，则D的面积为
(积分
来自洛必达法则)
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所得旋转体的体积微元为
从而
y 0 "=e x0 ，
切线方程为y-y 0 =e x0 (x-x 0 )．
它经过点(0，0)，所以-y 0 =-x 0 e x0 ．又因y 0 =e x0 ，代入求得x 0 =1，
从而y 0 =e x0 =e，切线方程为y=ex．
(Ⅰ)取水平条为A的面积元素，则D的面积为
(积分
来自洛必达法则)
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所得旋转体的体积微元为
从而