【正确答案】设F(x)=∫₀^xg(t)f’(t)dt+∫₀¹f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且
F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]。
由于x∈[0，1]时，g’(x)≥0，因此g(x)一g(1)≤0，又f’(x)≥0，故F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减，注意到
F(1)=∫₀¹g(t)f’(t)dt+∫₀¹f(t)g’(t)dt—f(1)g(1)，=f(t)g(t)|₀¹一f(1)g(1)=0，
故F(1)=0。因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，对任何a∈[0，1]，都有
∫₀^ag(x)f’(x)dx+∫₀¹f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。