解答题
4.设A=
，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为
，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为
【正确答案】根据题意，(1，2，1)T是A的一个特征向量，于是
解得a=一1，λ1=2。
由于A的特征多项式为
｜λE一A｜=(λ一2)(λ+4)(λ一5)，
所以A的特征值为2，一4，5。
当λ2=一4时，求得(一4E—A)x=0的基础解系为α2=
。
当λ3=5时，求得(5E—A)x=0基础解系为α3=
；
把α2，α3单位化得
解得a=一1，λ1=2。
由于A的特征多项式为
｜λE一A｜=(λ一2)(λ+4)(λ一5)，
所以A的特征值为2，一4，5。
当λ2=一4时，求得(一4E—A)x=0的基础解系为α2=
。当λ3=5时，求得(5E—A)x=0基础解系为α3=
；把α2，α3单位化得
【答案解析】因为Q是正交矩阵，因此QT=Q－1，所以QTAQ=
，即Q－1AQ=
，即Q－1AQ=