解答题
已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中
问答题
12.用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
【正确答案】由题设AB=C，得
由此知λ1=0，λ2=-12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T分别是对应的特征向量．
设A的第3个特征值为λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=-6，得λ3=6，再设A的对应于λ3=6的特征向量为
α3=(x1，x2，x3)T，则由λ1，λ2，λ3互异，有
解得α3=(-1，0，1)T．将α1，α2，α3单位化得
由此知λ1=0，λ2=-12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T分别是对应的特征向量．
设A的第3个特征值为λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=-6，得λ3=6，再设A的对应于λ3=6的特征向量为
α3=(x1，x2，x3)T，则由λ1，λ2，λ3互异，有
解得α3=(-1，0，1)T．将α1，α2，α3单位化得
【答案解析】本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A的特征值与特征向量，写出二次 型的标准形，由此确定二次曲面．再由方阵对角化的逆问题求出矩阵A，从而求出原二次型．
问答题
13.指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种曲面；
【正确答案】由第一问知， f(x1，x2，x3)=1的标准方程为
-12y22+623=1
故f(x1，x2，x3)=1表示双曲柱面．
-12y22+623=1
故f(x1，x2，x3)=1表示双曲柱面．
【答案解析】
问答题
14.求出该二次型f(x1，x2，x3)．
【正确答案】由第一问可得
由此推得
由此推得
【答案解析】