解答题
21.设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α＝(0，－1，1)T，β＝(1，0，－1)T，求矩阵A。
(Ⅰ)证明矩阵A能相似于对角矩阵；
(Ⅱ)若α＝(0，－1，1)T，β＝(1，0，－1)T，求矩阵A。
【正确答案】(Ⅰ)因为A的各行元素和为零，从而λ＝0为A的一个特征值，并且y＝(1，1，1)T为A属于λ＝0的特征向量。另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝－3(α－β)，λ＝3和λ＝－3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3，λ＝－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
(Ⅱ)A的三个特征向量为γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，－l，0)T，α－β＝(－l，－l，2)T，令
P＝(γ，α＋β，α－β)，
则P－1AP＝A，所以
(Ⅱ)A的三个特征向量为γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，－l，0)T，α－β＝(－l，－l，2)T，令
P＝(γ，α＋β，α－β)，
则P－1AP＝A，所以
【答案解析】n阶矩阵可相似对角化的充要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量或有n个不同的特征值，或对应同一特征值的线性无关的特征向量等于特征值的重数。