解答题
6.如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?
【正确答案】在题设两种情况下，{xnyn}的收敛性都不能确定．现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用
(xn≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn)收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若
=0，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：
．则xnyn=1，于是{xn，yn}收敛．
则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．
现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn)的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式
(xn≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn)收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若=0，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：．则xnyn=1，于是{xn，yn}收敛．则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn)的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式
【答案解析】