问答题
A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是三个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
2
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
【正确答案】正确答案：A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
2
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关
λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
线性无关
[λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]
秩为3
|A|=λ
1
λ
2
λ
3
≠0，A是可逆矩阵(因为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，
λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
线性无关
[λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]
秩为3
|A|=λ
1
λ
2
λ
3
≠0，A是可逆矩阵(因为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，
【答案解析】