问答题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l 1 ：ax+2by+3c=0，
l 2 ：bx+2cy+3a=0，
l 3 ：cx+2ay+3b=0．
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
l 1 ：ax+2by+3c=0，
l 2 ：bx+2cy+3a=0，
l 3 ：cx+2ay+3b=0．
试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】
【答案解析】证法1 考虑方程组
由几何意义可知，要么Ⅰ存在唯一解，要么无解，要么存在无穷多解(此时相当于三直线重合)．
Ⅰ存在唯一解
存在唯一解(x
0
，y
0
，1)
T
．而当后者存在唯一解(x
0
，y
0
，1)
T
时，它是非零解，所以
展开上式得
因此a+b+c=0．
反之，设a+b+c=0，则
有非零解(x 0 ，y 0 ，1) T ，即l 1 ，l 2 ，l 3 有公共点(x 0 ，y 0 )．但由上面分析，在三直线不重合的前提下，若有公共点(x 0 ，y 0 )，则必为唯一公共点．证毕．
证法2 考虑
三直线相交于一点
．
因为l 1 与l 2 是不同的直线，所以向量(a，2b，3c)与(b，2c，3a)对应的分量不成比例，所以
，但r(A)=2，所以
，即a+b+c=0(见证法1的推导)．
[解析] 不少考生由
由几何意义可知，要么Ⅰ存在唯一解，要么无解，要么存在无穷多解(此时相当于三直线重合)．
Ⅰ存在唯一解
存在唯一解(x
0
，y
0
，1)
T
．而当后者存在唯一解(x
0
，y
0
，1)
T
时，它是非零解，所以
展开上式得
因此a+b+c=0．
反之，设a+b+c=0，则
有非零解(x 0 ，y 0 ，1) T ，即l 1 ，l 2 ，l 3 有公共点(x 0 ，y 0 )．但由上面分析，在三直线不重合的前提下，若有公共点(x 0 ，y 0 )，则必为唯一公共点．证毕．
证法2 考虑
三直线相交于一点
．
因为l 1 与l 2 是不同的直线，所以向量(a，2b，3c)与(b，2c，3a)对应的分量不成比例，所以
，但r(A)=2，所以
，即a+b+c=0(见证法1的推导)．
[解析] 不少考生由