解答题
[2003年] 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(√2，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．
问答题
16.求曲线y=f(x)的方程；
【正确答案】 先求出法线方程及其与y轴的交点Q的坐标．再由PQ被x轴所平分，可得一微分方程，解此方程即可求得f(x)的方程．将曲线f(x)的椭圆方程化为参数方程，再用弧长公式(1．3．5．13)计算．
曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为Y—y=(一1／y′)(X—x)，其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X=0，则Y=y+x／y′，故点Q的坐标为(0，y+x／y′)．
由题设知
[y+y+x／y′]／2=0， y+y+x／y′=0，即2ydy+xdx=0，
积分得 x2+2y2=C (C为任意常数)．
由
曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为Y—y=(一1／y′)(X—x)，其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X=0，则Y=y+x／y′，故点Q的坐标为(0，y+x／y′)．
由题设知
[y+y+x／y′]／2=0， y+y+x／y′=0，即2ydy+xdx=0，
积分得 x2+2y2=C (C为任意常数)．
由
【答案解析】
问答题
17.已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．
【正确答案】曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l=
dx．曲线y=f(x)为椭圆，其参数方程可表示为x=acosθ=cosθ，y=bsinθ=(√2／2)sinθ，则
dx．曲线y=f(x)为椭圆，其参数方程可表示为x=acosθ=cosθ，y=bsinθ=(√2／2)sinθ，则【答案解析】