解答题
10.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图1．3．5．13)，已知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000 N，提升速度为3 m／s，在提升过程中，污泥以20 N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：①1 N×l m=1 J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)
【正确答案】所求的功应分为三部分：W1是克服抓斗自重做功，是常力做功；W2是克服缆绳重力做功，由于缆绳的长度随时间增长而缩短，是变力做功；W3为提出污泥而做功，由于污泥随时间增加而变少，也是变力做功，需用定积分求解．
解一 作x轴如图1．3．5．13所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W=W1+W2+W3，其中W1是克服抓斗自重所做的功，W2是克服缆绳重力所做的功，W3为提出污泥所做的功．依题意，得
W1=400×30=1 2000(J)．
将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所做的功元素为dW2=50(30一x)dx，故
W2=∫03050(30一x)dx=22500(J)．
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需做的功元素为dW3=3(2000一20t)dt，将污泥从井底提升至井口共需时间30／3=10 s，所以
W3=∫0103(2000—20t)dt=57000(J)．
因此，共需做功 W=l2000+22500+5 7000=91500(J)．
解二 在时间段[t，t+Δt]内做的功用微元分析法可表示为
ΔW≈dW=[400+(2000—20t)+50(30—3t)]·3dt=30(390—l7t)dt．
抓起污泥的抓斗提升至井口所需时间为30／3=10(s)．因此克服重力需做功
W=∫010dW=∫01030(390一17t)dt=91500(J)．
解一 作x轴如图1．3．5．13所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功W=W1+W2+W3，其中W1是克服抓斗自重所做的功，W2是克服缆绳重力所做的功，W3为提出污泥所做的功．依题意，得
W1=400×30=1 2000(J)．
将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所做的功元素为dW2=50(30一x)dx，故
W2=∫03050(30一x)dx=22500(J)．
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需做的功元素为dW3=3(2000一20t)dt，将污泥从井底提升至井口共需时间30／3=10 s，所以
W3=∫0103(2000—20t)dt=57000(J)．
因此，共需做功 W=l2000+22500+5 7000=91500(J)．
解二 在时间段[t，t+Δt]内做的功用微元分析法可表示为
ΔW≈dW=[400+(2000—20t)+50(30—3t)]·3dt=30(390—l7t)dt．
抓起污泥的抓斗提升至井口所需时间为30／3=10(s)．因此克服重力需做功
W=∫010dW=∫01030(390一17t)dt=91500(J)．
【答案解析】