解答题
设微分方程xy'+2y=2(ex-1)．
(Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求使
存在的那个解(将该解记为y0(x))，以及极限值
(Ⅰ)求上述微分方程的通解，并求使
存在的那个解(将该解记为y0(x))，以及极限值
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)当x≠0时，原方程化为
由一阶线性微分方程的通解公式，得通解
其中C为任意常数．
由上述表达式可知，
存在的必要条件是
当C=2时，对应的y(x)记为
则
(Ⅱ)令
而当x≠0时，
所以
y'0(x)在x=0处连续，又y'0(x)在x≠0处也连续(初等函数)，故无论x=0还是x≠0，
由一阶线性微分方程的通解公式，得通解
其中C为任意常数．
由上述表达式可知，
存在的必要条件是当C=2时，对应的y(x)记为
则
(Ⅱ)令
而当x≠0时，
所以
y'0(x)在x=0处连续，又y'0(x)在x≠0处也连续(初等函数)，故无论x=0还是x≠0，