二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝X
T
AX在正交变换X＝QY下化为10y
1
2
－4y
2
2
－4y
3
2
，Q的第1列为
【正确答案】正确答案：(1)Q的第1列α
1
＝
是A的属于10的特征向量，其
倍η
1
＝(1，2，3)
T
也是属于10的特征向量．于是A的属于－4的特征向量和(1，2，3)
T
正交，因此就是方程 χ
1
＋2χ
2
＋3χ
3
＝0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η
2
＝(2，－1，0)
T
，η
3
＝(1，2，－
)
T
． 建立矩阵方程A(η
1
，η
2
，η
3
)＝(10η
1
，－4η
2
，－4η
3
)，用初等变换法解得 A＝
(2)将η
2
，η
3
单位化得α
2
＝
(2，－1，0)
T
，α
3
＝
是A的属于10的特征向量，其
倍η
1
＝(1，2，3)
T
也是属于10的特征向量．于是A的属于－4的特征向量和(1，2，3)
T
正交，因此就是方程 χ
1
＋2χ
2
＋3χ
3
＝0 的非零解．求出此方程的一个正交基础解系η
2
＝(2，－1，0)
T
，η
3
＝(1，2，－
)
T
． 建立矩阵方程A(η
1
，η
2
，η
3
)＝(10η
1
，－4η
2
，－4η
3
)，用初等变换法解得 A＝
(2)将η
2
，η
3
单位化得α
2
＝
(2，－1，0)
T
，α
3
＝
【答案解析】