设f(x)为[一2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)=∫
-2
2
|x—t|f(t)dt,求F(x)在[一2,2]上的最小值点.
【正确答案】正确答案:F(x)=∫
-2
2
|x—t|f(t)dt=∫
-2
x
(x—t)f(t)dt+∫
x
2
(t一x)f(t)dt =x∫
-2
x
f(t)dt—∫
-2
x
tf(t)dt—∫
2
x
tf(t)dt+x∫
2
x
f(t)dt, F’(x)=∫
-2
x
f(t)dt+∫
-2
x
f(t)dt=∫
-2
0
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt+∫
2
0
f(t)dt+∫
0
x
f(t)dt, 因为∫
-2
0
f(t)dt=∫
0
2
f(t)dt,所以F’(x)=2∫
0
x
f(t)dt. 因为f(x)>0,所以F’(x)=0得x=0, 又因为F"(x)=2f(x),F”(0)=2f(0)>0,所以x=0为F(x)在(一2,2)内唯一的极小值点,也为最小值点.
【答案解析】