设f(x)为[一2,2]上连续的偶函数,且f(x)>0,F(x)=∫ -2 2 |x—t|f(t)dt,求F(x)在[一2,2]上的最小值点.
【正确答案】正确答案:F(x)=∫ -2 2 |x—t|f(t)dt=∫ -2 x (x—t)f(t)dt+∫ x 2 (t一x)f(t)dt =x∫ -2 x f(t)dt—∫ -2 x tf(t)dt—∫ 2 x tf(t)dt+x∫ 2 x f(t)dt, F’(x)=∫ -2 x f(t)dt+∫ -2 x f(t)dt=∫ -2 0 f(t)dt+∫ 0 x f(t)dt+∫ 2 0 f(t)dt+∫ 0 x f(t)dt, 因为∫ -2 0 f(t)dt=∫ 0 2 f(t)dt,所以F’(x)=2∫ 0 x f(t)dt. 因为f(x)>0,所以F’(x)=0得x=0, 又因为F"(x)=2f(x),F”(0)=2f(0)>0,所以x=0为F(x)在(一2,2)内唯一的极小值点,也为最小值点.
【答案解析】