问答题设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n。

问答题求二次型x^TAx的规范形；

【正确答案】设λ为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα，α≠0，则A²α=λ²α由于A²=E，从而(λ²-1)α=0，又因α≠0，故有λ²-1=0，解得λ=1或λ=-1。
因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是
[*]
那么矩阵A的特征值为：1(k个)，-1(n-k个)。
故二次型[*]

【答案解析】

问答题证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列式|B|的值。

【正确答案】因为A²=E，故
B=E+A+A²+A³+A⁴=3E+2A
所以矩阵B的特征值是：5(k个)，1(n-k个)，由于口的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且|B|=5^k·1^n-k～=5^k。

【答案解析】