假设G=｛(x，y)｜x
2
+y
2
≤r
2
｝是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．
【正确答案】正确答案：(1)X和Y的联合密度为
那么，X的密度函数f
1
(x)和y的密度函数f
2
(y)相应为
由于f(x，y)≠f
1
(x)f
2
(y)，可见随机变量X和Y不独立． (2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0． EX=∫
－∞
＋∞
xf
1
(x)dx=
=0 ． 因此，有 Cov(X，Y)=E(XY)=∫
－∞
＋∞
∫
－∞
＋∞
xyf(x，y)dxdy=
那么，X的密度函数f
1
(x)和y的密度函数f
2
(y)相应为
由于f(x，y)≠f
1
(x)f
2
(y)，可见随机变量X和Y不独立． (2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0． EX=∫
－∞
＋∞
xf
1
(x)dx=
=0 ． 因此，有 Cov(X，Y)=E(XY)=∫
－∞
＋∞
∫
－∞
＋∞
xyf(x，y)dxdy=
【答案解析】