问答题
设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=-2B，CA
T
=2C
其中
其中
问答题
求A；
【正确答案】
【答案解析】解 由题设条件①AB=-2B，将B按列分块，设B=(β
1
，β
2
，β
3
)，则有A(β
1
，β
2
，β
3
)=-2(β
1
，β
2
，β
3
)，即Aβ
i
=-2β
i
，i=1，2，3，故β
i
(i=1，2，3)是A的对应于λ=-2的特征向量．又因β
1
，β
2
线性无关，β
3
=β
1
+β
2
，故β
1
，β
2
是A的属于λ=-2的线性无关特征向量．②CA
T
=2C，两边转置得AC
T
=2C
T
，将C
T
按列分块，设C
T
=(α
1
，α
2
，α
3
)，则有A(α
1
，α
2
，α
3
)=2(α
1
，α
2
，α
3
)，Aα
i
=2α
i
，i=1，2，3，故α
i
(i=1，2，3)是A的属于λ=2的特征向量，因α
1
，α
2
，α
3
互成比例，故α
1
是A的属于特征值λ=2的线性无关的特征向量．
取P=(β 1 ，β 2 ，α 1 )，则P可逆，且
其中
取P=(β 1 ，β 2 ，α 1 )，则P可逆，且
其中
问答题
证明：对任何3维向量ξ，A
100
ξ与ξ必线性相关．
【正确答案】
【答案解析】证 因Aβ
i
=-2β
i
(i=1，2)，故A
100
β
i
=(-2)
100
β
i
=2
100
β
i
(i=1，2)，Aα
1
=2α
1
，故A
100
α
1
=2
100
α
1
．
对任意的3维向量ξ，因β 1 ，β 2 ，α 1 线性无关，ξ可由β 1 ，β 2 ，α 1 线性表示，且表示法唯一．
设ξ=μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 ，则
A 100 ξ=A 100 (μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 )=μ 1 A 100 β 1 +μ 2 A 100 β 2 +μ 3 A 100 α 1
=μ 1 2 100 β 1 +μ 2 2 100 β 2 +μ 3 2 100 α 1 =2 100 (μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 )=2 100 ξ．
得证A 100 ξ和ξ成比例，A 100 ξ和ξ线性相关．
对任意的3维向量ξ，因β 1 ，β 2 ，α 1 线性无关，ξ可由β 1 ，β 2 ，α 1 线性表示，且表示法唯一．
设ξ=μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 ，则
A 100 ξ=A 100 (μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 )=μ 1 A 100 β 1 +μ 2 A 100 β 2 +μ 3 A 100 α 1
=μ 1 2 100 β 1 +μ 2 2 100 β 2 +μ 3 2 100 α 1 =2 100 (μ 1 β 1 +μ 2 β 2 +μ 3 α 1 )=2 100 ξ．
得证A 100 ξ和ξ成比例，A 100 ξ和ξ线性相关．