解答题
16.证明：线性方程组(Ⅰ)
有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)
与(Ⅲ)
有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)
【正确答案】令A＝
＝(a1，a2，…，an)，b＝
，X＝
，Y＝
，
方程组(Ⅰ)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY＝0及Y＝0．
若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)＝r(A
b)，从而r(AT)＝r
，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；
反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(AT)＝r
，从而r(A)＝r(A
＝(a1，a2，…，an)，b＝，X＝，Y＝，方程组(Ⅰ)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY＝0及Y＝0．
若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)＝r(A
b)，从而r(AT)＝r，又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(AT)＝r
，从而r(A)＝r(A【答案解析】