填空题
设f(x)连续且f(x)≠0，又设f(x)满足f(x)=∫
0
x
f(z—t)dt+∫
0
1
f
2
(t)dt，则f(x)= 1．
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：[*]
【答案解析】解析：f(x)=∫
0
x
f(x—t)dt+∫
0
1
f
2
(t)dt(第—个积分令x—t=u) =一∫
x
0
f(u)du+∫
0
1
f
2
(t)dt=∫
0
x
f(u)du+∫
0
1
f
2
(t)dt． 令∫
0
1
f
2
(t)dt=a，于是 f(x)=∫
0
x
f(u)du+a，f'(x)=f(x)，f(0)=a， 解得f(x)=Ce
x
．由f(0)=a，得f(x)=ae
x
，代入∫
0
1
f
2
(t)dt=a中，得 a=∫
0
1
f
2
(t)dt=a
2
∫
0
1
e
2t
dt=
(e
2
—1)． 解得a=0(舍去)，a
(e
2
—1)． 解得a=0(舍去)，a