解答题
5.设f(x)在[a，b]二阶可导，f(x)＞0，f"(x)＜0((x∈(a，b))，求证：
【正确答案】联系f(x)与f"(x)的是泰勒公式．
ヨx0∈[a，b]，f(x0)=
f(x)．将f(x0)在
x∈[a，b]展开，有
f(x0)=f(x)+f'(x)(x0－x)+
f"(ξ)(x0－x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f'(x)(x0－x)]](
∈[a，b]，x≠x0)．
两边在[a，b]上积分得
∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf'(x)(x0－x)dx=∫abf(x)dx+∫ab(x0－x)df(x)
=∫abf(x)dx－(b－x0)f(b)－(x0－a)f(a)+∫abf(x)dx
≤2∫abf(x)dx．
因此f(x0)(b－a)＜2∫abf(x)dx，即
ヨx0∈[a，b]，f(x0)=
f(x)．将f(x0)在x∈[a，b]展开，有f(x0)=f(x)+f'(x)(x0－x)+
f"(ξ)(x0－x)2(ξ在x0与x之间)＜f(x)+f'(x)(x0－x)]]( ∈[a，b]，x≠x0)．两边在[a，b]上积分得
∫abf(x0)dx＜∫abf(x)dx+∫abf'(x)(x0－x)dx=∫abf(x)dx+∫ab(x0－x)df(x)
=∫abf(x)dx－(b－x0)f(b)－(x0－a)f(a)+∫abf(x)dx
≤2∫abf(x)dx．
因此f(x0)(b－a)＜2∫abf(x)dx，即
【答案解析】