问答题
设函数f(x)在[0，1]上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当x∈(0，1)时，f(x)≠0．
证明：对任意的正整数m，n，存在ξ∈(0，1)，使得
证明：对任意的正整数m，n，存在ξ∈(0，1)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 要证
．
设函数g(x)=ln[f n (x)·f m (1-x)]，由于f(0)=0，g(x)在x=0，x=1处无定义，不满足罗尔定理条件．可转而考虑函数F(x)=f n (x)·f m (1-x)．由于F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件．
所以，
ξ∈(0，1)，使得F"(ξ)=
[f
n
(x)·f
m
(1-x)]|
x=ξ
=0．即
nf n-1 (ξ)·f"(ξ)·f m (1-ξ)-mf m-1 (1-ξ)·f"(1-ξ)·f n (ξ)=0，
n·f"(ξ)·f(1-ξ)=m·f"(1-ξ)·f(ξ)
．
设函数g(x)=ln[f n (x)·f m (1-x)]，由于f(0)=0，g(x)在x=0，x=1处无定义，不满足罗尔定理条件．可转而考虑函数F(x)=f n (x)·f m (1-x)．由于F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件．
所以，
ξ∈(0，1)，使得F"(ξ)=
[f
n
(x)·f
m
(1-x)]|
x=ξ
=0．即
nf n-1 (ξ)·f"(ξ)·f m (1-ξ)-mf m-1 (1-ξ)·f"(1-ξ)·f n (ξ)=0，
n·f"(ξ)·f(1-ξ)=m·f"(1-ξ)·f(ξ)