解答题
4.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：
(Ⅰ)在(a，b)内，g(x)≠0；
(Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使
(Ⅰ)在(a，b)内，g(x)≠0；
(Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使
【正确答案】(Ⅰ)假设对任意的c∈(a，b)且g(c)=0。
由于g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分别运用罗尔定理可得g'(ξ1)=g'(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g'(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)。
因已知g"(x)≠0，与题设矛盾，故g(c)≠0，即在(a，b)内，g(x)≠0。
(Ⅱ)构造辅助函数F(x)=f(x)g'(x)—f'(x)g(x)，则有F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上满足罗尔定理。
故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=f(ξ)g"(ξ)—f"(ξ)g(ξ)=0，即
由于g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分别运用罗尔定理可得g'(ξ1)=g'(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g'(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)。
因已知g"(x)≠0，与题设矛盾，故g(c)≠0，即在(a，b)内，g(x)≠0。
(Ⅱ)构造辅助函数F(x)=f(x)g'(x)—f'(x)g(x)，则有F(a)=0，F(b)=0，在[a，b]上满足罗尔定理。
故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=f(ξ)g"(ξ)—f"(ξ)g(ξ)=0，即
【答案解析】