选择题
设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0．若R(A-E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为______
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
【正确答案】
A
【答案解析】 由A2+2A-3E=0，得(A-E)(A+3E)=0，
∴R(A-E)+R(A+3E)≤4．
又
R(A-E)+R(A+3E)=R(E-A)+R(A+3E)
≥R(E-A+A+3E)
=R(4E)=R(E)=4，
∴R(A-E)+R(A+3E)=4．则R(A+3E)=3．
于是|A-E|=0，这表明1是A的特征值；
|A+3E|=0，这表明-3是A的特征值．
于是(A-E)x=0有3个线性无关的特征向量，λ=1为A的三重特征值；
(A+3E)x=0仅有1个线性无关的特征向量，λ=-3为A的一重特征值；
于是，四阶方阵A的特征值为1，1，1，-3，二次型xTAx经正交变换后的标准形为
∴R(A-E)+R(A+3E)≤4．
又
R(A-E)+R(A+3E)=R(E-A)+R(A+3E)
≥R(E-A+A+3E)
=R(4E)=R(E)=4，
∴R(A-E)+R(A+3E)=4．则R(A+3E)=3．
于是|A-E|=0，这表明1是A的特征值；
|A+3E|=0，这表明-3是A的特征值．
于是(A-E)x=0有3个线性无关的特征向量，λ=1为A的三重特征值；
(A+3E)x=0仅有1个线性无关的特征向量，λ=-3为A的一重特征值；
于是，四阶方阵A的特征值为1，1，1，-3，二次型xTAx经正交变换后的标准形为