设3维向量组α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关．
问答题
证明存在非零3维向量ξ，ξ既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出；
【正确答案】正确答案：因α
1
，α
2
，β
1
，β
2
均是3维向量，4个3维向量必线性相关．由定义知，存在不全为零的数k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
，使得 k
1
α
1
+ k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 得 k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
． 取 ξ= k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
， 若ξ=0，则k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
=0． 因α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
也线性无关，从而得出k
1
=k
2
，且λ
1
=λ
2
，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出的非零向量．
【答案解析】
问答题
若α
1
=(1，－2，3)
T
，α
2
=(2，1，1)
T
，β
1
= (－2，1，4)
T
，β
2
=(－5，－3，5)
T
．求既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出的所有非零向量ξ．
【正确答案】正确答案：设ξ= k
1
α
1
+ k
2
α
2
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
，则得齐次线性方程组是k
1
α
1
+ k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0． 将α
1
，α
2
，β
1
，β
2
合并成矩阵，并作初等行变换．得
解得 (k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
)=k(－1，2，－1，1)． 故既可由α
1
，α
2
线性表出，又可以β
1
，β
2
线性表出的所有非零向量为
其中k是任意的非零常数 或
解得 (k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
)=k(－1，2，－1，1)． 故既可由α
1
，α
2
线性表出，又可以β
1
，β
2
线性表出的所有非零向量为
其中k是任意的非零常数 或
【答案解析】