【正确答案】假设η^*，ξ₁，…，ξ_n-r线性相关，则存在不全为零的数c₀，c₁，…，c_n-r使得c₀η^*+c₁ξ₁+…+c_n-rξ_n-r=0， (1)
用矩阵A左乘上式两边，得
0=A(c₀η^*+c₁ξ₁+…+c₀Aη^*)=c₀Aη^*+c₁Aξ₁+…+c_n-rAξ_n-r=cb，其中b≠0，则c₀=0，于是(1)式变为c₁ξ₁+…+c_n-rξ_n-r=0，ξ₁，…，ξ_n-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ₁，…，ξ_n-r线性无关，因此c₁=c₂=…=c_n-r=0，与假设矛盾。所以η^*，ξ₁，…，ξ_n-r线性无关。

【正确答案】假设η^*，η^*+ξ₁，…，η^*+ξ_n-r线性相关，则存在不全为零的数c₀，c₁，…，c_n-r使c₀η^*+c₁(η^*+ξ₁)+…+c_n-r(η^*+ξ_n-r)=0，即 (c₀+c₁+…+c_n-r)η^*+c₁ξ₁+…+c_n-rξ_n-r=0。 (2)
用矩阵A左乘上式两边，得
0=A[(c₀+c₁+…+c_n-r)η^*+c₁ξ₁+…+c_n-rξ_n-r]
=(c₀+c₁…+c_n-r)Aη^*+c₁Aξ₁+…+c_n-rAξ_n-r
=(c₀+c₁…+c_n-r)b，
因为b≠0，故c₀+c₁+…+c_n-r=0，代入(2)式，有
c₁ξ₁+…+c_n-rξ_n-r=0，ξ₁，…，ξ_n[r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ₁，…，ξ_n-r线性无关，因此c₁=c₂=…=c_n-r=0，则c₀=0.与假设矛盾。
综上，向量组η^*，η^*+ξ₁，…，η^*+ξ_n-r线性无关。