【正确答案】麦克劳林公式其实就是泰勒公式中，把函数在点x=0处展开。
f(x)的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(ξ)x²=f'(0)x+

【正确答案】方法一：将f(x)从－a到a积分
∫_－a^af(x)dx=∫_－a^af'(0)xdx+1／2∫_－a^af"(ξ)x²dx。
而∫_－a^af'(0)xdx=f'(0)∫_－a^axdx=f'(0)×|_－a^a=0，
从而有∫_－a^af(x)dx=1／2∫_－a^af"(ξ)x²dx。
因f"(x)在[－a，a]上连续，故有f"(x)在[－a，a－]上存在最大值M，最小值m(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即

易得m≤f"(x)≤M，x∈[－a，a]。
因此∫_－a^af(x)dx=1／2∫_－a^af"(ξ)x²dx≤1／2M∫_－a^ax²dx=1／2Mx³／3|_－a^a=Ma³／3，
同理∫_－a^af(x)dx=1／2∫_－a^af"(ξ)x²dx≥1／2m∫_－a^ax²dx=1／3ma³。
因此m≤3／a³∫_－a^af(x)dx≤M。
由连续函数介值定理知，存在η∈[－a，a]，使
f"(η)=3／a³∫_－a^af(x)dx，
即a³f"(η)=3∫_－a^af(x)dx。
方法二：观察要证的式子，构造变限函数：F(x)=∫_－x^xf(t)dt，易得F(0)=0，
F'(x)=f(x)+f(－x)(变限积分求导)，
F"(x)=[f(x)+f(－x)]'=f'(x)－f'(－x)，
F"'(x)=[f'(x)－f'(－x)]'=f"(x)+f"(－x)，
则有F'(0)－f(0)+f(－0)－0+0=0，
F"(0)－f'(0)－f'(－0)=f'(0)－f'(0)=0。
将它展开成二阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：
F(x)=F(0)+F'(0)x+F"(0)x²+F"'(ξ)x³
=0+0+F"'(ξ)x³=1／6[f"(ξ)+f"(－ξ)]x³，
其中ξ∈(0，x)，x∈[－a，a]。
由于f"(x)在[－a，a]上连续，则由连续函数介值定理，存在η∈[－ξ，ξ]，使
f"(η)=1／2[f"(ξ)+f"(－ξ)]，
于是存在η∈(－a，a)，使
F(x)=0+0+F"'(ξ)x³=